Công thức cấp số cộng cấp số nhân
Cấp số cộng là một dãy số mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi.
Số không đổi này được gọi là công sai (ký hiệu là d).
1. Công thức tổng quát
Cho cấp số cộng có số hạng đầu là u1 và công sai là d:
Lý thuyết cấp số cộng
Công thức truy hồi (tính số hạng tiếp theo):
u_n = u_(n-1) + d (với n lớn hơn hoặc bằng 2)
Công thức số hạng tổng quát (tìm số hạng bất kỳ ở vị trí n):
u_n = u1 + (n - 1) * d
Tính chất số hạng trung tâm (với 3 số hạng liên tiếp):
u_k = (u_(k-1) + u_(k+1)) / 2
Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên (Sn):
Cách 1: Sn = n * (u1 + u_n) / 2
Cách 2: Sn = n * [2 * u1 + (n - 1) * d] / 2
2. Ví dụ bằng số thực tế
Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, ...
Số hạng đầu tiên: u1 = 2
Công sai: d = 3
Số hạng thứ 6 (u6): u6 = 2 + (6 - 1) * 3 = 2 + 5 * 3 = 17
Tổng của 6 số hạng đầu (S6): S6 = 6 * (2 + 17) / 2 = 6 * 19 / 2 = 57
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi.
Số không đổi này được gọi là công bội (ký hiệu là q).
1. Các công thức tổng quát (Dạng ký tự thường)
Cho cấp số nhân có số hạng đầu là u1 và công bội là q:
Lý thuyết cấp số nhân
Công thức truy hồi (tính số hạng tiếp theo):
u_n = u_(n-1) * q (với n lớn hơn hoặc bằng 2)
Công thức số hạng tổng quát (tìm số hạng bất kỳ ở vị trí n):
u_n = u1 * q^(n - 1)
(Trong đó q^(n - 1) nghĩa là q lũy thừa n - 1)
Tính chất số hạng trung tâm (với 3 số hạng liên tiếp):
(u_k)^2 = u_(k-1) * u_(k+1)
(Nghĩa là bình phương của số ở giữa bằng tích của hai số hai bên)
Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên (Sn):
Sn = u1 * (1 - q^n) / (1 - q) (với q khác 1)
2. Ví dụ bằng số thực tế
Cho dãy số: 2, 6, 18, 54, 162, ...
Số hạng đầu tiên: u1 = 2
Công bội q: Lấy số sau chia số trước bất kỳ, ta được: 6 / 2 = 3 (hoặc 18 / 6 = 3). Vậy q = 3.
Số hạng thứ 5 (u5): u5 = 2 * 3^(5 - 1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162.
Tổng của 4 số hạng đầu (S4): S4 = 2 * (1 - 3^4) / (1 - 3) = 2 * (1 - 81) / (-2) = 2 * (-80) / (-2) = 80.
(Kiểm tra lại bằng cách cộng thủ công: 2 + 6 + 18 + 54 = 80)
PHẦN 1: BÀI TẬP CẤP SỐ CỘNG (Từ bài 1 đến bài 5)
Bài 1: Tìm công sai khi biết hai số hạng liên tiếp
Đề bài: Cho cấp số cộng có số hạng u3 = 12 và số hạng u4 = 17. Hãy tìm công sai d và số hạng đầu tiên u1 của dãy số này.
Đáp án: * Công sai d = u4 - u3 = 17 - 12 = 5.
Tìm u1: Áp dụng công thức u3 = u1 + 2 * d => 12 = u1 + 2 * 5 => u1 = 12 - 10 = 2.
Kết luận: d = 5 và u1 = 2.
Bài 2: Tìm công sai và số hạng đầu từ hệ phương trình
Đề bài: Cho một cấp số cộng thỏa mãn hệ điều kiện: u1 + u5 = 14 và u3 + u6 = 19. Tìm số hạng đầu u1 và công sai d.
Đáp án:
Biến đổi hệ theo u1 và d:
Phương trình 1: u1 + (u1 + 4 * d) = 14 => 2 * u1 + 4 * d = 14
Phương trình 2: (u1 + 2 * d) + (u1 + 5 * d) = 19 => 2 * u1 + 7 * d = 19
Lấy phương trình 2 trừ phương trình 1 ta được: 3 * d = 5 => d = 5/3.
Thay d vào phương trình 1: 2 * u1 + 4 * (5/3) = 14 => 2 * u1 = 14 - 20/3 = 22/3 => u1 = 11/3.
Kết luận: u1 = 11/3 và d = 5/3.
Bài 3: Xác định công thức tổng quát từ dãy số cho trước
Đề bài: Cho dãy số cộng: -3, 1, 5, 9, 13... Hãy viết công thức số hạng tổng quát u_n của dãy số này và tìm số hạng thứ 100 (u100).
Đáp án:
Ta có số hạng đầu u1 = -3.
Công sai d = 1 - (-3) = 4.
Công thức tổng quát: u_n = u1 + (n - 1) * d = -3 + (n - 1) * 4 = 4 * n - 7.
Số hạng thứ 100 là: u100 = 4 * 100 - 7 = 393.
Kết luận: u_n = 4 * n - 7 và u100 = 393.
Bài 4: Tìm số hạng đầu và công sai từ tổng Sn
Đề bài: Một cấp số cộng có công thức tính tổng n số hạng đầu tiên là: Sn = 2 * n^2 + 3 * n. Hãy tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng này.
Đáp án:
Với n = 1: S1 = u1 = 2 * (1^2) + 3 * 1 = 5. Vậy u1 = 5.
Với n = 2: S2 = u1 + u2 = 2 * (2^2) + 3 * 2 = 8 + 6 = 14.
Suy ra số hạng thứ hai: u2 = S2 - u1 = 14 - 5 = 9.
Công sai d = u2 - u1 = 9 - 5 = 4.
Kiểm tra lại: Công thức tổng quát Sn của cấp số cộng bất kỳ có dạng (d/2)*n^2 + (u1 - d/2)*n. Ở đây d/2 = 2 => d = 4 (chính xác).
Kết luận: u1 = 5 và d = 4.
Bài 5: Bài toán thực tế ứng dụng cấp số cộng
Đề bài: Một xưởng sản xuất tháng đầu tiên làm được 100 sản phẩm. Do cải tiến kỹ thuật, kể từ tháng thứ hai, mỗi tháng xưởng đều sản xuất tăng thêm 15 sản phẩm so với tháng trước đó. Hỏi công thức tính sản phẩm ở tháng thứ n là gì và tháng thứ 12 xưởng làm được bao nhiêu sản phẩm?
Đáp án:
Bài toán là một cấp số cộng với u1 = 100 và công sai d = 15.
Công thức tổng quát ở tháng thứ n: u_n = 100 + (n - 1) * 15 = 15 * n + 85.
Số sản phẩm làm được ở tháng thứ 12: u12 = 15 * 12 + 85 = 180 + 85 = 265 sản phẩm.
Kết luận: u_n = 15 * n + 85 và u12 = 265.
PHẦN 2: BÀI TẬP CẤP SỐ NHÂN (Từ bài 6 đến bài 10)
Bài 6: Tìm công bội từ hai số hạng liên tiếp
Đề bài: Cho cấp số nhân có số hạng u2 = 6 và u3 = -18. Tìm công bội q và số hạng đầu tiên u1.
Đáp án:
Công bội q = u3 / u2 = (-18) / 6 = -3.
Tìm u1: Ta có u2 = u1 * q => 6 = u1 * (-3) => u1 = 6 / (-3) = -2.
Kết luận: q = -3 và u1 = -2.
Bài 7: Xác định công thức tổng quát của cấp số nhân
Đề bài: Cho dãy số nhân: 5, 10, 20, 40, 80... Viết công thức tổng quát u_n của dãy số và tìm số hạng thứ 10 (u10).
Đáp án:
Ta có số hạng đầu u1 = 5.
Công bội q = 10 / 5 = 2.
Công thức tổng quát: u_n = u1 * q^(n - 1) = 5 * 2^(n - 1).
Số hạng thứ 10 là: u10 = 5 * 2^(10 - 1) = 5 * 2^9 = 5 * 512 = 2560.
Kết luận: u_n = 5 * 2^(n - 1) và u10 = 2560.
Bài 8: Tìm công bội và số hạng đầu không liên tiếp
Đề bài: Cho cấp số nhân có u2 = 4 và u5 = 32. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q.
Đáp án:
Theo công thức tổng quát, ta có:
u2 = u1 * q = 4
u5 = u1 * q^4 = 32
Lấy u5 chia cho u2 ta được: (u1 * q^4) / (u1 * q) = 32 / 4 => q^3 = 8 => q = 2.
Thay q = 2 vào u2: u1 * 2 = 4 => u1 = 2.
Kết luận: u1 = 2 và q = 2.
Bài 9: Tìm công bội từ điều kiện tổng số hạng
Đề bài: Cho một cấp số nhân có các số hạng đều là số dương, biết u1 + u2 = 9 và u3 + u4 = 36. Tìm u1 và q.
Đáp án:
Biến đổi các phương trình:
Phương trình 1: u1 + u1 * q = 9 => u1 * (1 + q) = 9
Phương trình 2: u1 * q^2 + u1 * q^3 = 36 => u1 * q^2 * (1 + q) = 36
Lấy phương trình 2 chia cho phương trình 1 ta được: q^2 = 36 / 9 = 4.
Vì các số hạng đều dương nên công bội q phải dương => q = 2.
Thay q = 2 vào phương trình 1: u1 * (1 + 2) = 9 => 3 * u1 = 9 => u1 = 3.
Kết luận: u1 = 3 và q = 2.
Bài 10: Bài toán thực tế ứng dụng cấp số nhân
Đề bài: Một loại vi khuẩn có đặc tính cứ sau 1 tiếng lại tự nhân đôi một lần (số lượng tăng gấp 2 lần). Ban đầu trong phòng thí nghiệm có 50 con vi khuẩn. Hãy viết công thức tính số lượng vi khuẩn sau n giờ và tính xem sau 6 giờ sẽ có bao nhiêu con vi khuẩn?
Đáp án:
Số lượng vi khuẩn ban đầu lúc 0 giờ là 50 con. Sau 1 giờ (u1) sẽ là 50 * 2 = 100 con.
Dãy số tính theo từng giờ là một cấp số nhân có số hạng đầu (sau 1 giờ) u1 = 100, công bội q = 2.
Công thức tổng quát sau n giờ: u_n = u1 * q^(n - 1) = 100 * 2^(n - 1) = 50 * 2 * 2^(n - 1) = 50 * 2^n.
Số vi khuẩn sau 6 giờ: u6 (hoặc tính trực tiếp bằng 50 * 2^6) = 50 * 64 = 3200 con.
Kết luận: Công thức tổng quát là 50 * 2^n và sau 6 giờ có 3200 con vi khuẩn.
Như vậy, nhờ vào các bài toán hữu ích ra có thể ứng dụng và hiểu sâu về công thức cấp số cộng cấp số nhân một cách hiệu quả nhất!
1. Bài toán ứng dụng Cấp số cộng (CSC)
Bài 1: Tính tổng chi phí đào giếng (Mô hình chi phí tăng dần)
Đề bài: Một gia đình cần đào một cái giếng sâu 20 mét. Chi phí cho mét đào đầu tiên là 200.000 đồng. Kể từ mét thứ hai trở đi, chi phí cho mỗi mét sau tăng thêm 30.000 đồng so với mét ngay trước nó. Hỏi gia đình đó phải trả tổng cộng bao nhiêu tiền để đào xong cái giếng 20 mét?
Bài toán cuộn hình nâng cao
Phương pháp giải: * Chi phí đào từng mét lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 200.000 và công sai d = 30.000.
Số mét giếng cần đào là n = 20.
Tổng số tiền phải trả là tổng của 20 số hạng đầu tiên (S20).
Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức tính tổng: S_n = n * [2 * u1 + (n - 1) * d] / 2
Thay số vào công thức:
S20 = 20 * [2 * 200.000 + (20 - 1) * 30.000] / 2
S20 = 10 * [400.000 + 19 * 30.000]
S20 = 10 * [400.000 + 570.000]
S20 = 10 * 970.000 = 9.700.000
Đáp số: Gia đình phải trả tổng cộng 9.700.000 đồng.
Bài 2: Khấu hao tài sản (Mô hình giảm tuyến tính)
Đề bài: Một công ty mua một chiếc xe tải với giá ban đầu là 800 triệu đồng. Sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc xe tải sản bị giảm đi một số tiền không đổi là 45 triệu đồng (gọi là khấu hao tài sản). Hỏi sau bao nhiêu năm sử dụng thì giá trị còn lại của chiếc xe tải là 350 triệu đồng?
Phương pháp giải:
Giá trị xe qua các năm lập thành một cấp số cộng giảm với u1 = 800 (triệu) và công sai d = -45 (triệu).
Cần tìm số năm n sao cho số hạng u_n = 350.
Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức số hạng tổng quát: u_n = u1 + (n - 1) * d
Thay các giá trị vào phương trình:
350 = 800 + (n - 1) * (-45)
350 = 800 - 45 * n + 45
45 * n = 800 + 45 - 350
45 * n = 495
n = 495 / 45 = 11
Đáp số: Sau 11 năm sử dụng, chiếc xe sẽ có giá trị còn lại là 350 triệu đồng.
2. Bài toán ứng dụng Cấp số nhân (CSN)
Bài 3: Tăng trưởng dân số (Mô hình cấp số nhân liên tục)
Đề bài: Tính đến đầu năm 2026, dân số của một tỉnh là khoảng 1,5 triệu người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh này không đổi và luôn giữ ở mức 1,2% mỗi năm. Hỏi đến đầu năm 2036 (sau đúng 10 năm), dân số của tỉnh đó dự kiến sẽ là bao nhiêu người? (Làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Phương pháp giải:
Dân số sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân.
Số hạng đầu (năm gốc 2026) coi là u0 = 1.500.000.
Sau 1 năm, dân số tăng thêm 1,2%, tức là bằng 100% + 1,2% = 101,2% = 1,012 lần so với năm trước. Vậy công bội q = 1,012.
Dân số sau n năm được tính theo công thức: u_n = u0 * q^n. Ở đây cần tìm dân số sau n = 10 năm.
Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức: u10 = 1.500.000 * (1,012)^10
Tính toán máy tính: (1,012)^10 xấp xỉ 1,126692
u10 = 1.500.000 * 1,126692 = 1.690.038
Đáp số: Đến đầu năm 2036, dân số của tỉnh dự kiến là khoảng 1.690.038 người.
Bài 4: Gửi tiết kiệm ngân hàng (Lãi kép)
Đề bài: Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền 200 triệu đồng với kỳ hạn 1 năm, lãi suất 6% một năm theo hình thức lãi kép (nghĩa là tiền lãi của năm trước được cộng dồn vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo). Giả sử lãi suất không đổi, hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó sẽ nhận được tổng số tiền (cả gốc lẫn lãi) lớn hơn 300 triệu đồng?
Phương pháp giải:
Số tiền nhận được sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân với số vốn ban đầu u0 = 200 (triệu).
Công bội q = 1 + 6% = 1,06.
Số tiền sau n năm gửi là: u_n = 200 * (1,06)^n.
Giải bất phương trình: u_n > 300 để tìm n.
Lời giải chi tiết:
Ta có: 200 * (1,06)^n > 300
Suy ra: (1,06)^n > 300 / 200 = 1,5
Lấy lôgarit cơ số 1,06 cả hai vế (kiến thức lớp 12):
n > log_1,06_(1,5)
n > ln(1,5) / ln(1,06)
n > 0,405465 / 0,058269 xấp xỉ 6,96
Vì n phải là số nguyên năm nên ta chọn n = 7.
Đáp số: Sau ít nhất 7 năm gửi, người đó sẽ nhận được số tiền lớn hơn 300 triệu đồng.
Bài 5: Bài toán gửi tiền đều đặn hằng tháng (Tích lũy định kỳ)
Đề bài: Để chuẩn bị tiền mua xe, đầu mỗi tháng một học sinh đi làm thêm và gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền cố định là 2 triệu đồng. Lãi suất ngân hàng là 0,5% mỗi tháng và tính theo hình thức lãi kép. Hỏi sau đúng 24 tháng (2 năm) gửi đều đặn, tổng số tiền học sinh này nhận được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Gọi số tiền gửi mỗi tháng là a = 2 (triệu), lãi suất là r = 0,5% = 0,005.
Tổng số tiền thu được sau n tháng gửi đầu tháng được tính bằng công thức tổng của một dãy các cấp số nhân:
Sn = a * (1 + r) * [(1 + r)^n - 1] / r
Lời giải chi tiết:
Thay các thông số vào công thức với a = 2, r = 0,005 và n = 24:
S24 = 2 * (1 + 0,005) * [(1 + 0,005)^24 - 1] / 0,005
S24 = 2 * 1,005 * [(1,005)^24 - 1] / 0,005
S24 = 402 * [(1,005)^24 - 1]
Tính toán phần lũy thừa: (1,005)^24 xấp xỉ 1,12716
S24 = 402 * [1,12716 - 1] = 402 * 0,12716 xấp xỉ 51,118 (triệu đồng)
Đáp số: Sau 24 tháng, học sinh đó nhận được khoảng 51.118.000 đồng.
Như vậy, nhờ vào các bài toán hữu ích ra có thể ứng dụng và hiểu sâu về công thức cấp số cộng cấp số nhân một cách hiệu quả nhất!